其原因有两条:一是看似简单的数学公式可以生成十分复杂的图像图形,二是看似十分复杂的图像图形可以由简单的数学公式实现。

显然这两句话是一个意思,也并没有什么营养。

不如先给大家讲个段子:

妹妹看到哥哥在抓耳挠腮地做作业,就跑过去问:“哥哥,你在做什么作业?”

哥哥回答:“数学。”

妹妹看了一眼哥哥写的东西,就说:“你骗人,你明明写的都是英文。”

哥哥含着眼泪对妹妹说:“妹子,你还太小,数学的险恶你还不懂!本来我的数学学得非常好,直到有一天,他们丧心病狂地在数字里添加了字母!”

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

最初我以为笑话里讲的“数字里添加的字母”是代数里用的x、y、z。后来我慢慢意识到,罪孽深重最大恶极的sin会导致数学变得更加险恶。

为了洞悉数学的险恶,我曾试图将数学以图形图像的方式显示出来,并写过几个程序DEMO可以利用数学公式转化成图形图像。DEMO发在叶飞影 – 博客园里,有兴趣可以去看看。现在很多数学软件都有类似的功能,我只是习惯用自己的这套逻辑,自得其乐而已。文中所发的图片都是从我写的程序DEMO中截屏出来的。

1

正弦波

提到“波”这个词,我第一会想到波波,第二则想到正弦sin。很容易画出函数y=sin(x)的图形:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

正弦波

我有个大学同学曾经说过:“人生就像一条正弦波,有时在波峰,有时在波谷。我现在正处于波谷,但我相信将来不久,我就会爬上波峰。”

然而,这个比喻并不准确,否则人生就不会起起落落落落落落落落……了。我觉得更准确的比喻是:人生就像若干条正弦波的叠加,你永远不知道自己下一步是起还是落。

看看这个正弦波叠加函数:

y = sin(x) + sin(x*2)/2 + sin(x*4)/4  + sin(x*8)/8 + sin(x*16)/16 + sin(x*32)/32 + sin(x*64)/64 + sin(x*128)/128

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

有规律的正弦波叠加

该函数由8个正弦波叠加组成,每个波有它的振幅和频率。然而世事无常,每个波的振幅和频率决不会那么地有规律,如果用随机数设置这8个波的振幅和频率,可以得到如下图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

随机的正弦波叠加

现在问题来了,随意选中图像所绘曲线上的一点,该如何判断该点将来是涨还是跌?涨又能涨多少?跌又能跌多少?这只有知道每个正弦波的振幅和频率才能知道。小时候看电视剧《大时代》,里面讲炒股要追“势”,将股票的波动曲线析构成一个个的“势”的作用结果。通过对股票波动曲线的研究,分析出每个“势”的大小和周期,以此涨势则买入,跌势则卖出,无往不利。然而单看这么一根根屌丝一样的曲线,我是没有办法得到振幅和频率的具体数值,我甚至连有几个正弦波都看不出来。理论是美好的,现实是残酷的,我断然没有这方面的才能,所以不敢踏入股市。就如同我知道一点点概率论的知识(投入值大于期望值八成会亏本),就不敢买彩票一样。

加大正弦波的振幅,加快正弦波的频率,可以生成类似下面这样的图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

波动图

是不是感觉有点乱糟糟的,还可以更乱吗?当然可以!

看看函数:y = fract(sin(x)*1000000.0)。fract是对实数忽略整数位只取小数位的操作。这个函数的图像如下:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

随机图

这个函数的用处就是为了生成随机数。当然真正大神写的随机数生成的函数是:

y = fract(sin(x*12.9898)*43758.5453123)。

至于为什么设置12.9898和43758.5453123这两个常数值,我也不知道呀!大神的思维不是我等凡人所能理解的,我只知道如果设置了其他数,生成的数值可能就不够随机了。

2

二维三维……

题目提到的方程是个二元方程,对应的图形是个二维图形。我们先从简单的来讲:

函数y = sin(x)扩展到二维可以是z = sin(x) + sin(y),也可以是z = sin(x + y),还可以是z = sin(x)*sin(y)、z = sin(x * y)。每一个函数都是让人头晕目炫,凭我怎么去想,也想不清晰这些函数应该是什么样。

有一天晚上,我半夜醒来睡不觉,就闭着眼睛想z = sin(x) + sin(y)这个函数应该是什么样,这货应该是圆的还是方的呢?怎么都想不清楚,第二天早上,起来用程序画了一下。OK,原来它是这个样子的:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

z = sin(x) + sin(y)

加点伪彩颜色后,看让去不会那么让人眼晕:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

z = sin(x) + sin(y)

原来这货是既圆又方,这图像真让人眩晕,如果那晚我能想象出这个函数的图像,应该会很快再度安然入睡。。

方程sin(x) + sin(y) = 1的图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

sin(x) + sin(y) = 1

方程sin(x) + sin(y) = 0的图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

sin(x) + sin(y) = 0

如果再增加一维,函数变为:w = sin(x) + sin(y) + sin(z),这就有点难画了。这是个三维函数,属于体素数据,是个实心的。要看体素的内部数值,可以使用体绘制,但我只有显示其切片的办法。当然切片不一定是平面,可以用个曲面来切,将切到的数值以颜色的形式显示出来。下图为用一个半径为40的球体切割函数w = sin(x) + sin(y) + sin(z),然后把数值转化成灰度,得到的图形:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

w = sin(x) + sin(y) + sin(z)

灰度图看着不爽,加点伪彩颜色瞧瞧:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

w = sin(x) + sin(y) + sin(z)

球看着也不爽,既然z = sin(x) + sin(y)可以生成一个平面地形高度图形,那么就可以用w = sin(x) + sin(y) + sin(z)生成一个星球高度图形:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

w = sin(x) + sin(y) + sin(z)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

w = sin(x) + sin(y) + sin(z)

如果你们还想知道四元及以上的可视化效果,诸如:k = sin(x) + sin(y) + sin(z) + sin(w),我也没办法啊!四维世界的险恶,我做为三维世界的生物根本看不到,也想不懂。

3

sin(x²)+sin(y²)=1

话题回到问题中的方程上。先看函数y = sin(x²),我们可以很容易画出它的图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

y = sin(x²)

然后将一元变量的函数扩展到二元变量:z = sin(x²)+sin(y²)

可以将该函数以地形高度图的方式进行显示:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

正面

反面

然后用平面z = 1横切该地形,就可以得到方程sin(x²)+sin(y²)=1的图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

sin(x²)+sin(y²)=1

不过我更愿意将z转化成一个像素值而不是高度值,下图为将z转化成灰度值生成的一幅黑白图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

灰度图

可以将z = 1的区域用红色标识一下:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

灰色图+勾勒sin(x²)+sin(y²)=1

既然是灰度值,就可以对其做伪彩调色,以生成更漂亮的彩色图像:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

伪彩图1

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

伪彩图2

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

伪彩图3

再增加一维,函数变为:w = sin(x²) + sin(y²) + sin(z²)。下图为用一个半径为10的球体切割得到的图形:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

w = sin(x²) + sin(y²) + sin(z²)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

w = sin(x²) + sin(y²) + sin(z²)

w = sin(x²) + sin(y²) + sin(z²)

w = sin(x²) + sin(y²) + sin(z²)

最后,大家想不想看看方程sin(x²)+sin(y²)+sin(z²)=1的图形效果?图形中含有很多可爱的激凸哟!

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-2.2, 2.2)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-3.3, 3.3)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-4.15, 4.15)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-10, 10)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-10, 10)

当然也有方程sin(x²)+sin(y²)+sin(z²)=0的图形效果,密集恐惧症患者的福利:

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-6, 6)

为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂?

数值范围(-10, 10)